Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）AH交ED于点G，求证：AH⊥ED，并求AG的长度．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，
∴∠DCF=90°=∠DAE，
∵CF=AE，
∴△ADE≌△CDF．

（2）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠B=90°，
∵E为AB中点，H为BC的中点，
∴AE=BH，
∴△DAE≌△ABH，
∴∠EDA=∠BAH，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED+∠BAH=90°，
∴∠AGE=180°-90°=90°，
∴AH⊥ED．

在△EAD中，由勾股定理得：DE===，
由三角形的面积公式得：AE×AD=DE×AG，
∴1×2=×AG，
∴AG=，
答：AG的长是．
分析：（1）根据正方形的性质推出∠DAB=∠DCB=90°，AD=DC，根据SAS即可证出答案；
（2）根据正方形的性质推出AE=BH，根据SAS证△DAE≌△ABH，推出∠EDA=∠BAH，求出∠AED+∠BAH=90°，根据三角形的内角和定理求出∠AGE即可；根据三角形的面积求出AG即可．
点评：本题主要考查对三角形的面积，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．