Question

在等腰梯形ABCD中，AD=AB=BC=1，点E是AD上一点，点F是AB上一点，且AE=BF，连接CE、DF，交于点P．在下列结论中：（1）∠EDF=∠DCE；（2）∠DPC=72°；（3）S_{四边形AEPF}=S_△DPC；（4）当E为AD中点时，．正确的个数有

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根据等腰梯形的性质求出∠ADC=∠DAB，证△ADF≌△DCE，即可判断①③；过D作DM∥AB交BC于M，根据平行四边形的判定和等边三角形的性质和判定即可得出②；根据三角形的面积公式求出④．
解答：∵AD=AB，AE=BF，
∴DE=AF，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADC=∠DAB，
∵AB=CD，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠EDF=∠DCE，∴（1）正确；③正确；
∵过D作DM∥AB交BC于M，
∵AD∥BC，AD=AB=CD=BC，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴AB=BM=CM=CD=DM，
∴∠DCB=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠DEC+∠DCE=∠DPC=60°，∴②错误；
AB=1，∠B=60°，
S_梯形ABCD=（1+2）×=，
∵S_△AFD=S_△DEC=×1×=，
∴S_△AFD+S_△DEC=，
S_梯形ABCD-（S_△AFD+S_△DEC）=，
∴S_{四边形ABCE}＞，
∴④错误．
故选B．
点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．