题目内容
如图，抛物线y=
x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点A（2，-
），与x轴交于B、C两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和B、C两点的坐标；
（3）请在该抛物线x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．
【答案】分析：（1）根据对称轴为直线x=1可得：-
=1，经过点A（2，-
）可得
，把两式组成方程组可以算出b、c的值，进而得到抛物线解析式；
（2）求B、C点坐标就是计算
x2-
x-
=0的解，顶点坐标就是把x=1代入再算出y的值，即可得到顶点坐标；
（3）根据（2）中计算的B、C点坐标可得到△EBC的一边长，当面积最大时就是E点是抛物线的顶点时，根据（2）中计算的顶点坐标可得到BC上的高，进而可计算出三角形的面积．
解答：解：（1）由已知条件得：
，
解得
，
故抛物线解析式为y=
x2-
x-
；
（2）由
x2-
x-
=0，
解得：x1=-1，x2=3，
则B（-1，0），C（3，0），
当x=1时，y=
-
-
=-3，
则顶点坐标为（1，-3）；
（3）∵B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，
∴E点是抛物线的顶点，
∴△EBC的面积最大=
×3×4=6．
点评：此题主要考查了二次函数综合应用，关键是根据对称轴和图象所过的点计算出计算出二次函数解析式．
=1，经过点A（2，-）可得，把两式组成方程组可以算出b、c的值，进而得到抛物线解析式；（2）求B、C点坐标就是计算
x2-x-=0的解，顶点坐标就是把x=1代入再算出y的值，即可得到顶点坐标；（3）根据（2）中计算的B、C点坐标可得到△EBC的一边长，当面积最大时就是E点是抛物线的顶点时，根据（2）中计算的顶点坐标可得到BC上的高，进而可计算出三角形的面积．
解答：解：（1）由已知条件得：
，解得
，故抛物线解析式为y=
x2-x-；（2）由
x2-x-=0，解得：x1=-1，x2=3，
则B（-1，0），C（3，0），
当x=1时，y=
--=-3，则顶点坐标为（1，-3）；
（3）∵B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，
∴E点是抛物线的顶点，
∴△EBC的面积最大=
×3×4=6．点评：此题主要考查了二次函数综合应用，关键是根据对称轴和图象所过的点计算出计算出二次函数解析式．
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