Question

如图，将△ADC绕AC的中点O旋转180°，得到△CBA，分别在AC上取点E、F，使得AE=CF，连接DE、BF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接BE、DF，求证：四边形DEBF是平行四边形；
（3）当△ADC满足______条件时，平行四边形DEBF是菱形？（直接填条件，不用证明）

Answer 1

（1）证明：∵△ADC绕AC的中点O旋转180°，得到△CBA，
∴AD=CB，∠DAC=∠BCA，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）证明：连BE、CF，
∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∵∠DEF=180°-∠AED，∠BFE=180°-∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（3）当DA=DC时，平行四边形DEBF是菱形．理由如下：
∵DA=DC，
∴∠DAE=∠DCF，
在△DAE和△DCF中，
∵，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，
∴平行四边形DEBF是菱形．
故答案为：DA=DC．
分析：（1）根据旋转的性质得到AD=CB，∠DAC=∠BCA，而AE=CF，根据全等三角形的判定方法易得△ADE≌△CBF；
（2）连BE、CF，由于△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质得到DE=BF，∠AED=∠BFC，根据等角的补角相等可得∠DEF=∠BFE，则DE∥BF，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（3）当DA=DC时，则∠DAE=∠DCF，易整得△DAE≌△DCF，得到DE=DF，根据菱形的判定即可得到平行四边形DEBF是菱形．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定以及菱形的判定．