Question

如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为

1. A.
   1
2. B.
   1.2
3. C.
   1.3
4. D.
   1.5

Answer 1

B
分析：根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
解答：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2．
故选B．
点评：此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．
要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．