Question

如图，点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任一点，以点P为圆心，OP为半径的圆交y轴于点A，交直线OP于点B，连接AB，则△OAB的面积是________．

Answer 1

2
分析：过点P作PD⊥y轴于D，由于点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任一点，故S_△ODP=，由圆周角定理可知∠OAB=90°，故可得出AB⊥OA，所以AB∥PD，故△ODP∽△OAB，由于点P是线段OB的中点，相似比为1：2，再根据相似三角形的性质即可求出△OAB的面积．
解答：解：过点P作PD⊥y轴于D，
∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任一点，
∴S_△ODP=，
∵OB是⊙P的直径，
∴∠OAB=90°，
∴AB⊥OA，
∴AB∥PD，
∴△ODP∽△OAB，
∵点P是线段OB的中点，
∴△ODP与△OAB相似比为1：2，
∴=（）²=，
解得S_△OAB=×4=2．
故答案为：2．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义、相似三角形判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．