Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
（2）注意：分b=c，b=a两种情况做．

解答：（1）证明：△=[-（k+2）]²-4×1×2k=（k-2）²，
∵无论k取何值，（k-2）²≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）解：①当b=c时，则△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7；

②解：当b=a=3时，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k=b=3，
∴c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8；
综上所述，△ABC的周长为7或8．

点评：本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．