Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求k的值；
（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2。
∵tan∠AHO=2，∴OH=1。
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1。
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）。
∵点M在上，∴k=1×4=4。
（2）存在。
∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1）。
过点N作N关于x轴的对称点N₁，连接MN₁，交x轴于P（如图所示）。

此时PM+PN最小。
∵N与N₁关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），∴N₁的坐标为（4，﹣1）。
设直线MN₁的解析式为y=kx+b。
由解得。
∴直线MN₁的解析式为。
令y=0，得x=．
∴P点坐标为（，0）。

解析