题目内容

如图，点A（1，0），B（0， $数学公式$ ）分别在x轴和y轴上，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；
（2）若点P（m， $数学公式$ ）为坐标平面内一点，使得△APB与△ABC面积相等，求m的值．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b则 $\text{[math]}$ ，
解得k=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$
∴y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
作CD⊥x轴，垂足为D，
∵OA=1，OB= $\text{[math]}$ ，
∴AB=2
∵∠ABC=30°，
∴AC= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴∠OAB=60°，
∴∠CAD=30°
∴CD= $\text{[math]}$ ，AD=1，
∴C的坐标是 $\text{[math]}$ ，

（2）如图，过点P作直线l∥x轴，交AB于点Q，则点Q的坐标是 $\text{[math]}$
S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•AC= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
S_△ABC=S_△APB，
∴ $\text{[math]}$ ×PQ•OB= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得PQ= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m₁= $\text{[math]}$ ，m₂=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据条件列出二元一次方程组，求出k和b的值，作CD⊥x轴，垂足为D，即可求出C点坐标；
（2）如图，过点P作直线l∥x轴，交AB于点Q，求出点Q的坐标，先求出三角形ABC的面积的值，然后令两面积相等，求出PQ的值，进而求出m的值．
点评：本题主要考查一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并结合图形进行答题，此题是中考的重点题型，此题难度不大．