Question

如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A （1，0），对角线的交点P（

5

2

，1）
（1）写出B、C、D三点的坐标；
（2）若在线段AB上有一点 E（3，0），过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式；
（3）若过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，并与y轴交于点M，求M点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性质结合顶点A （1，0），对角线的交点P（

5

2

，1），利用中点坐标公式即可求出C点坐标，同理求出C和D点坐标；
（2）设直线解析式为y=kx+b，若过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，则直线必定过P点，求出k和b的值即可；
（3）首先求出矩形的面积，过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，求出直线与AD或AB的交点坐标，分别设出直线的解析式，求出对应的系数，即可求出M点的坐标．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，顶点A （1，0），对角线的交点P（

5

2

，1），
∴

1+xC

2

=

5

2

，y_D=2，
∴C点坐标为（4，2），B点坐标为（4，0），D点坐标为（1，2）；

（2）设直线解析式为y=kx+b，
∵过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，
∴该直线经过点P（

5

2

，1），
由题意得

5 2 k+b=1 3k+b=0

，
解得k=-2，b=6，
∴直线解析式为y=-2x+6；

（3）由题意知，矩形ABCD的面积为6，如图1
∵过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，
∴S_△CDN=

1

2

DC•DN=

1

2

×3×DN=

3

7

×6，
∴DN=

12

7

，
∴N点坐标为（1，

2

7

），
∴直线经过N点和C点，
设经过AD边的直线解析式为y=mx+n，
由题意得

4m+n=2 m+n= 2 7

，
解得m=

4

7

，n=-

2

7

，
∴直线与y轴交点M的坐标为（0，-

2

7

）；


过C点的直线l将矩形ABCD的面积分为4：3两部分，如图2
∴S_△CBN=

1

2

BC•BN=

1

2

×2×BN=

3

7

×6，
解得BN=

18

7

，
∴AN=

3

7

，
∴N点坐标为（

10

7

，0），
设经过AB边的直线解析式为y=ax+b，
由题意得

4a+b=2 10 7 a+b=0

，
解得a=

7

9

，b=-

10

9

，
∴直线与y轴交点M的坐标为（0，-

10

9

）；
综上所述M点坐标为（0，-

2

7

）或（0，-

10

9

）．

点评：本题主要考查一次函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握中点坐标公式以及函数解析式的求法，特别是第（3）小问有两种可能性，此题难度不大，但是常考的试题．