Question

如图，在?ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

Answer 1

（1）证明：∵在?ABCD中，AB=CD，
∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．
又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，
∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四边形AECF为菱形时，
∴AE=EC．
又∵点E是边BC的中点，
∴BE=EC，即BE=AE．
又BC=2AB=4，
∴AB=BC=BE，
∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，
?ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，
∴菱形AECF的面积为2．
分析：第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．
第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．
点评：考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．
（1）用SAS证全等；
（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．