Question

如图，点A（0，4），点B（3，0），点P为线段AB上的一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当点P运动到什么位置时，MN的值最小？最小值是多少？求出此时PN的长．

Answer 1

分析：首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，可求得MN的长；
又由在Rt△POB中，根据勾股定理可得：BP=

9

5

，与S_△OBP=

1

2

OP•BP=

1

2

OB•PN，继而求得PN的长．

解答：解：如图，连接OP．
由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90°．
∴四边形ONPM是矩形．
∴OP=MN，
在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小．
∵A（0，4），B（3，0），即AO=4，BO=3，
根据勾股定理可得AB=5．
∵S_△AOB=

1

2

AO•BO=

1

2

AB•OP，
∴OP=

12

5

．
∴MN=

12

5

．
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为

12

5

；
在Rt△POB中，根据勾股定理可得：BP=

9

5

，
∵S_△OBP=

1

2

OP•BP=

1

2

OB•PN．
∴PN=

36

25

．

点评：此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．