Question

【题目】如图1，矩形的顶点，的坐标分别为（2，0），（0，3） ，抛物线：经过，两点.抛物线的顶点为.

（1）求抛物线的表达式和点的坐标；

（2）点是抛物线对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求所有符合条件的点的坐标；

（3）如图2，现将抛物线进行平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与射线只有一个公共点.设平移后抛物线的顶点横坐标为，求的值或取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（1，4）；（2）或或或或；（3）或

【解析】

（1）由题意可知B，C两点的坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）分三种不同的情况：①当AC=AP时，②当AC=CP时，③当AP=CP时，设P（1，t），根据两点间的距离公式，求出AC2=9+4=13，AP2=1+t2，CP2=1+（t-3）2，分别列出方程即可解决；

（3）先求得直线CD的解析式，利用直线与抛物线的交点、抛物线的平移变换规律来求m的取值范围即可．

（1）∵矩形的顶点，的坐标分别为（2，0），（0，3）

∴OA=2,OC=3,即B（2,3）

把点、分别代入，得

解得，

则该抛物线的解析式为：；

又∵

∴顶点

（2）设，

，，

①当时，，，∴或

②当时，，，∴或

③当时，，，∴

（3）∵、，

∴易得直线的解析式为：，移动中抛物线的顶点为，则抛物线为，

又， ，

将代入，，

解得，，

∴

又

∴，

∵ ，

解得

∴顶点横坐标的值或取值范围为或.