Question

如图，直线y=-2x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD。
（1）填空：点C的坐标是（_______，_______）；              
                      点D的坐标是（_______，_______）。
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1） C（0，1），D（-2，0） ；
（2）；
（3）存在；分两种情况讨论
①以BM为腰时
∵，又点P在y轴上，
且BP=BM此时满足条件的点P 有两个它们是
P₁（0，2+），P₂（0，-），
过点M作ME⊥y轴于点E。
∵∠BMC=90°则△BME∽△BCM，
∴=，BE=，
又因为BM=MP所以FE=BE=，
所以BP=，
所以CP=2-=，
此时满足条件的点P有一个，它是P₃（0，）；
②以BM为底时，作BM的垂直平分线，
分别交y轴BM于点P、F，
由（2）得∠BMC=90°
∴PF∥CM，
因为点F 是EM的中点，
所以EP=BC=，所以OP=，
此时满足条件的点P有一个，它是P₄（0，）
综上所述，点P的坐标是
P₁（0，2+），P₂（0，2-），P₃（0，），P₄（0，）。