题目内容

已知如图，抛物线y=ax²+bx-a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=ax²+bx-a是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-a的顶点坐标为C（0，-4），
∴b=0，a=4；
∴抛物线的解析式为y=4x²-4．

（2）设P（m，n），由4x²-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0）；
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$ ；
若∠OCB=∠BPD，则 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴n=4（m-1），
此时P（m，4（m-1））．

（3）假设抛物线存在点Q（x，y）使四边形ABPQ为平行四边形，
当P（m，4m-4）时，AP的中点R的坐标为：R $\text{[math]}$ ，
又∵R又是BQ的中点，
∴ $\text{[math]}$ ，Q（m-2，4（m-1））；
∵Q在抛物线上，
∴4（m-1）=4（m-2）²-4，
∴m-1=m²-4m+4-1，
∴m²-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去）；
当P点坐标为 $\text{[math]}$ 时，
同理， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
∵点Q在抛物线上，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴16m²-65m+49=0， $\text{[math]}$ 或m=1（舍去）；
∴当m=4或 $\text{[math]}$ 时，AP与BQ互相平分，四边形ABPQ是平行四边形；
∴m=4或 $\text{[math]}$ 为所求．
（3）另解：可用AB=PQ=2，
∴ $\text{[math]}$ 或Q（m-2，4（m-1）），
∵点Q在抛物线上，
或4（m-2）²-4=4（m-1）；
解之 $\text{[math]}$ 或m=1，或m=4或m=1，
∵m＞1，
∴m=4或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由于抛物线的顶点坐标在y轴上，且坐标为（0，-4），则抛物线的对称轴为y轴，即b=0，a=4，由此确定该抛物线的解析式．
（2）设出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式，可求得B点的坐标，进而可得OC=4OB；△BOC和△ODB中，可用m表示出BD的长，若两个直角三角形相似，那么直角边对应成比例，即PD=4BD或BD=4PD，由此求得点P的纵坐标，进而可得到点P的坐标．
（3）若四边形ABPQ为平行四边形，那么PQ=AB=2，那么将点P的坐标向左平移2个单位即可得到点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入抛物线的解析式中即可求得m的值．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识；在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解．