Question

【题目】如图，已知直角坐标平面上的，，，且，，．若抛物线经过、两点．

求、的值；

将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点，求新抛物线的解析式；

设中的新抛物的顶点点，为新抛物线上点至点之间的一点，以点为圆心画图，当与轴和直线都相切时，联结、，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】；新抛物线的解析式为；四边形的面积为．

【解析】

（1）只需把点A、C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；

（2）可设新抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3+k，然后求出点B的坐标，并把点B的坐标代入新抛物线的解析式，就可解决问题；

（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，易证四边形QECD是正方形，则有QD=DC．设点Q的横坐标为t，从而得到点Q的坐标为（t，3﹣t），代入新抛物线的解析式，求出点Q的坐标，然后运用割补法就可求出四边形ABQP的面积．

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得：；

（2）设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，则新抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3+k．

∵A（﹣1，0）、C（3，0），∴CB=AC=3﹣（﹣1）=4．

∵∠ACB=90°，∴点B的坐标为（3，4）．

∵点B（3，4）在抛物线y=x2﹣2x﹣3+k上，∴9﹣6﹣3+k=4，解得：k=4，∴新抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；

（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，∴四边形QECD是矩形．

∵QD=QE，∴矩形QECD是正方形，∴QD=DC．

设点Q的横坐标为t，则有OD=t，QD=DC=OC﹣OD=3﹣t，∴点Q的坐标为（t，3﹣t）．

∵点Q在抛物线y=x2﹣2x+1上，∴t2﹣2t+1=3﹣t，解得：t1=2，t2=﹣1．

∵Q为抛物线y=x2﹣2x+1上P点至B点之间的一点，∴t=2，点Q的坐标为（2，1），∴OD=2，QD=CD=1．

由y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2得顶点P的坐标为（1，0），∴OP=1，PD=OD﹣OP=2﹣1=1，∴S四边形ABQP=S△ACB﹣S△PDQ﹣S梯形DQBC

=ACBC﹣PDQD﹣（QD+BC）DC

=×4×4﹣×1×1﹣×（1+4）×1

=5

∴四边形ABQP的面积为5．