Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF=4

3

，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC，则△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度数；由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A的度数；
（2）由图可知：阴影部分的面积是扇形OCB和Rt△OEC的面积差；那么解决问题的关键是求出半径和OE的长；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30°，已知了CE的长，通过解直角三角形，即可求出OC、OE的长，由此得解．

解答：解：（1）连接OC，
∵CD切⊙O于点C
∴∠OCD=90°（1分）
∵∠D=30°
∴∠COD=60°（2分）
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO=30°；（4分）

（2）∵CF⊥直径AB，CF=4

3

∴CE=2

3

（5分）
∴在Rt△OCE中，tan∠COE=

CE

OE

，
OE=

CE

tan60°

=

2 3

3

=2，
∴OC=2OE=4（6分）
∴S_扇形BOC=

60π×42

360

=

8

3

π，S△EOC=

1

2

×2×2

3

=2

3

（8分）
∴S_阴影=S_扇形BOC-S_△EOC=

8

3

π-2

3

．（10分）

点评：本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及扇形面积的计算方法．不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．