Question

A、B、C三点共线，O点在直线外，O₁，O₂，O₃分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心．求证：O，O₁，O₂，O₃四点共圆．

Answer 1

分析：先连接OO₁，OO₂，OO₃，O₁O₂，O₁O₃，AO₃，BO₂，由三角形外角的性质及圆周角定理可求出∠OO₂O₁=∠OO₃O₁，即可求出O，O₁，O₂，O₃共圆．

解答：证明：连接OO₁，OO₂，OO₃，O₁O₂，O₁O₃，AO₃，BO₂，
∵O₁，O₂，O₃分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心，
∴O₁O₂垂直平分OB，O₁O₃垂直平分OA，
由圆周角定理可得，∠OO₂O₁=

1

2

∠OO₂B=∠OCB，∠OO₃O₁=

1

2

∠OO₃A=∠OCA，
∴∠OO₂O₁=∠OO₃O₁，
∴O，O₁，O₂，O₃共圆．

点评：本题考查的是四点共圆及三角形外心的定义，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．