题目内容
三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1 000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步=6尺，1里=180丈=1 800尺=300步．结果用里和步来表示）
分析：根据“平行线法”证得△BCF∽△HAF、△DEG∽△HAG，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解线段AH的长度．
解答：解：∵AH∥BC，
∴△BCF∽△HAF，
∴
=
，
又∵DE∥AH，
∴△DEG∽△HAG，
∴
=
，
又∵BC=DE，
∴
=
，
即
=
，
∴BH=30750（步），
又∵
=
，
∴AH=
，即AH=
=1255（步）．
∴△BCF∽△HAF，
∴
| BF |
| HF |
| BC |
| AH |
又∵DE∥AH，
∴△DEG∽△HAG，
∴
| DG |
| HG |
| DE |
| AH |
又∵BC=DE，
∴
| BF |
| HF |
| DG |
| HG |
即
| 123 |
| 123+HB |
| 127 |
| 127+1000+HB |
∴BH=30750（步），
又∵
| BF |
| HF |
| BC |
| AH |
∴AH=
| BC•HF |
| BF |
| 5×(30750+123) |
| 123 |
点评：能够熟练运用三角形的相似可解决一些简单的实际问题．
练习册系列答案
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