题目内容
如图，在△ABC中，AB=AD，DC=BD，DE⊥BC，DE交AC于点E，BE交AD于点F．求证：（1）△BDF∽△CBA；（2）AF=DF．
分析：（1）利用已知得出∠EBD=∠C，∠ADB=∠ABC即可得出答案；
（2）利用△BDF∽△CBA，得出
=
，进而求出即可．
（2）利用△BDF∽△CBA，得出
| FD |
| AB |
| BD |
| CB |
解答：证明：（1）∵BD=DC，DE⊥BC，
∴EB=EC．∴∠EBD=∠C．（3分）
∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABC，（1分）
∴△BDF∽△CBA．（2分）
（2）∵△BDF∽△CBA，
∴
=
．（2分）
∵AB=AD，BD=
BC，
∴
=
=
．（2分）
∴AF=DF．（2分）
∴EB=EC．∴∠EBD=∠C．（3分）
∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABC，（1分）
∴△BDF∽△CBA．（2分）
（2）∵△BDF∽△CBA，
∴
| FD |
| AB |
| BD |
| CB |
∵AB=AD，BD=
| 1 |
| 2 |
∴
| FD |
| AD |
| ||
| CB |
| 1 |
| 2 |
∴AF=DF．（2分）
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△BDF∽△CBA是解决问题的关键．
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