题目内容
已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB1的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“
| BE | CE |
分析：（1）利用平行线性质以及线段比求出CF的值；
（2）本题要分两种方法讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．需运用勾股定理求出与之相联的线段；
（3）本题分两种情况讨论：若点E在线段BC上，y=
，定义域为x＞0；若点E在边BC的延长线上，y=
，定义域为x＞1．
（2）本题要分两种方法讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．需运用勾股定理求出与之相联的线段；
（3）本题分两种情况讨论：若点E在线段BC上，y=
| 9x |
| 2x+2 |
| 9x-9 |
| 2x |
解答：解：（1）∵AB∥DF，
∴
=
，（1分）
∵BE=2CE，AB=3，
∴
=
，（1分）
∴CF=
；（1分）
（2）①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．
由题意翻折得：∠1=∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF．（1分）
设DM=x，则CM=3-x．
又CF=1.5，
∴AM=MF=
-x，
在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，
∴32+x2=（
-x）2，
∴x=
，（1分）
∴DM=
，AM=
，
∴sin∠DAB1=
=
；（1分）
②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴
=
，
∴DF=FC=
，（1分）
设DN=x，则AN=NF=x+
．
在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，
∴32+x2=（x+
）2，
∴x=
．（1分）
∴DN=
，AN=
sin∠DAB1=
=
；（1分）
（3）若点E在线段BC上，y=
，定义域为x＞0；（2分）
若点E在边BC的延长线上，y=
，定义域为x＞1．（1分）
∴
| AB |
| CF |
| BE |
| CE |
∵BE=2CE，AB=3，
∴
| 3 |
| CF |
| 2CE |
| CE |
∴CF=
| 3 |
| 2 |
（2）①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．
由题意翻折得：∠1=∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF．（1分）
设DM=x，则CM=3-x．
又CF=1.5，
∴AM=MF=
| 9 |
| 2 |
在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，
∴32+x2=（
| 9 |
| 2 |
∴x=
| 5 |
| 4 |
∴DM=
| 5 |
| 4 |
| 13 |
| 4 |
∴sin∠DAB1=
| DM |
| AM |
| 5 |
| 13 |
②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴
| AD |
| CE |
| DF |
| FC |
∴DF=FC=
| 3 |
| 2 |
设DN=x，则AN=NF=x+
| 3 |
| 2 |
在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，
∴32+x2=（x+
| 3 |
| 2 |
∴x=
| 9 |
| 4 |
∴DN=
| 9 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
| DN |
| AN |
| 3 |
| 5 |
（3）若点E在线段BC上，y=
| 9x |
| 2x+2 |
若点E在边BC的延长线上，y=
| 9x-9 |
| 2x |
点评：本题考查正方形的性质，线段比以及勾股定理等相关知识的综合运用，注意两种情况的分析探讨．
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