Question

在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰Rt△ADE．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
解答下列问题：
①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），线段CE、BD之间的位置关系为______，数量关系为______．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，线段CE、BD之间的位置关系为______，数量关系为______．
请在上面①②两个结论中任选一个说明理由．
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足∠BCA=______时，CE⊥BC（点C、E重合除外）？请在图3中画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

Answer 1

解：（1）①CE⊥BD； CE=BD．
证明：∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°； CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，
即 CE⊥BD．
故答案为 CE⊥BD； CE=BD．
②CE⊥BD； CE=BD．
理由同①；
（2）如图所示．
当∠ACB=45°时，CE⊥BC．
理由：过点A作AP⊥AC交BC边于P．
则∠APC=45°，AP=AC．
∵∠DAP=90°-∠DAC，∠EAC=90°-∠CAD，
∴∠DAP=∠EAC．
又∵AD=AE，
∴△APD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠APD=45°．
∴∠ECB=45°+45°=90°，
即 CE⊥BC．
故答案为 45°．
分析：（1）根据已知条件，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，应用全等三角形性质求解；
（2）先画出符合要求的图形，再结合图形运用分析法探究．
点评：此题为开放性探究题，考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，综合性较强，难度大．