Question

如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；

（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；

（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），

∴，

解得a=1，b=4，

∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x²+4x+3，

∵令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∴cos∠CAB=．

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=．

如答图1所示，连接O1B、O1B，

由圆周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，

∴△BO₁C为等腰直角三角形，

∴⊙O₁的半径O₁B=BC=．

（3）抛物线y=x²+4x+3=（x+2）²-1，

∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x= -2．

又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称．

如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，

∴D（-4，3）．

又∵点M为BD中点，B（-1，0），

∴M（，），

∴BM=；

在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），

由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．

∵△BMN∽△BPC，

∴，即，

解得：，MN．

设N（x，y），由两点间的距离公式可得：

，

解之得，，

∴点N的坐标为（，）或（，）．

【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．