题目内容
如图，已知正方形ABCD，直线AG分别交BD，CD于点E、F，交BC的延长线于点G，点H是线段FG上的点，且
HC⊥CE，（1）求证：点H是GF的中点；
（2）设
| DE |
| BE |
| S△ECH |
| S△GCF |
分析：（1）由已知证得△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，再由同角和等角的余角相等得到∠HCG=∠FGC，∠HCD=∠HFC，故有FH=CH=GH，即H是GF的中点；
（2）过点E作EM⊥CD于M，由于y=
=
+
=
+
，由于AD∥BG，得
=
由比例的性质求得用含x的代数式表示
的值，代入前式即可．
（2）过点E作EM⊥CD于M，由于y=
| S△ECF+S△FCH |
| S△FCG |
| 1 |
| 2 |
| S△ECF |
| S△FCG |
| 1 |
| 2 |
| EM |
| CG |
| DE |
| EB |
| AD |
| BG |
| EM |
| CG |
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，
∴∠DAG=∠AGB，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∴△ADE≌△CDE，（SAS）
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠ECD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，
∴∠ECD=∠GCH，
∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC，
∴∠HCD=∠HFC，
∴FH=CH=GH，即H是GF的中点；
（2）解：过点E作EM⊥CD于M，则有y=
=
+
=
+
，
∵AD∥BG，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，
又∵
=
=
，
∴
=
=
，
∴y=
+
=
．
∴AD∥BG，
∴∠DAG=∠AGB，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∴△ADE≌△CDE，（SAS）
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠ECD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，
∴∠ECD=∠GCH，
∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC，
∴∠HCD=∠HFC，
∴FH=CH=GH，即H是GF的中点；
（2）解：过点E作EM⊥CD于M，则有y=
| S△ECF+S△FCH |
| S△FCG |
| 1 |
| 2 |
| S△ECF |
| S△FCG |
| 1 |
| 2 |
| EM |
| CG |
∵AD∥BG，
∴
| DE |
| EB |
| AD |
| BG |
∴
| AD |
| BG-AD |
| DE |
| BE-DE |
∴
| AD |
| CG |
| x |
| 1-x |
又∵
| EM |
| BC |
| DE |
| BD |
| x |
| 1+x |
∴
| EM |
| CG |
| EM•AD |
| BC•CG |
| x2 |
| 1-x2 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 1-x2 |
| 1+x2 |
| 2(1-x2) |
点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
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