Question

如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，过点O、点B的直线解析式为y=x，OA、AB是方程x²-14x+48=0的两个根，OB=BC，D、E分别是线段OC、OB上的动点（点D与点O、点C不重合），且∠BDE=∠ABO，设CD=x，BE=y．
（1）求BC和OC的长；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）是否存在x的值，使以点B、点D、点E为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点B作BM⊥OC于点M．先解方程x²-14x+48=0，得x₁=6，x₂=8，再根据直线OB的解析式为y=x，求出BM=8，OM=6，则由勾股定理得到BC=OB=10，由等腰三角形三线合一的性质得到OC=2OM=12；
（2）先由平行线的性质及已知条件证出∠BOC=∠BCO，再结合三角形外角的性质得到∠ODE=∠CBD，则△ODE∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x的函数关系式；
（3）由于∠BED＞∠BOC=∠BDE，所以BD＞BE，当△BDE为等腰三角形时，分两种情况讨论：①DE=DB，②EB=ED．这两种情况，都可以根据△ODE∽△CBD，对应线段成比例列出方程，求解即可．
解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0，
得x₁=6，x₂=8．
过点B作BM⊥OC于点M，
又∵过点O、点B的直线解析式为，
∴BM：OM=4：3，
∴BM=8，OM=6，
∴BC=OB=，OC=2OM=12；

（2）∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，
∵BO=BC，∴∠BOC=∠BCO，
∵∠BDE=∠ABO，∴∠BDE=∠BCO，
∵∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠CBD+∠BCO，∴∠ODE=∠CBD，
∴△ODE∽△CBD，∴OD：CB=OE：CD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x，
解得y=x²-x+10（0＜x＜12）；

（3）存在x₁=2，x₂=，使以点B、点D、点E为顶点的三角形为等腰三角形．理由如下：
∵∠BED＞∠BOC=∠BDE，∴BD＞BE，
当△BDE为等腰三角形时，分两种情况：
①当DE=DB时，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=DE：BD=1，
∴（12-x）：10=1，
解得x=1；
②当EB=ED时，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=OE：CD=DE：BD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x=y：（12-x），
解得x=．
故存在x₁=2，x₂=，使以点B、点D、点E为顶点的三角形为等腰三角形．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数的性质，综合性较强，难度中等．其中第（2）问证出△ODE∽△CBD是关键，第（3）问运用分类讨论思想是关键．