Question

【题目】已知关于x的一元二次方程.

（1）求证：不管为何值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长,另两边长恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）16或22.

【解析】试题分析：

（1）计算出“根的判别式△的值”，然后通过配方可知无论k去何值，△的值恒大于或等于0，由此可得结论；

（2）因为题目中没有告诉等腰△ABC中边是腰还是底，故要分两种情况讨论：①当为腰时，则中有一边为腰，即原方程有一根为6，代入方程可解得k的值，进一步可求得方程的另一根，从而可求△ABC的周长；②当为底时，则都为腰，此时原方程有两个相等的实数根，则△=0，由此可求出k的值，代入原方程求解，从而可求△ABC的周长.

试题解析：

（1）∵在方程 中，△====，

∴无论k为何值，△0 ，

∴不管k为何值，原方程总有实数根；

（2）①当为腰时，则中有一边为腰，即原方程有一根为6，把代入原方程得： ，解得；当时，原方程为： ，解得，即中一边为4，一边为6，则△ABC的周长为16；当时，原方程为： ，解得，即中一边为6，一边为10，此时△ABC的周长为22.

②当为底时，则两边均为腰，即原方程有两个相等的实数根，∴△==0，解得k=1，此时原方程为： ，解得： ，即两边均为2，∵2+2<6，∴此时三边围不成三角形，此种情况不成立；

综合①、②可得△ABC的周长为16或22.