题目内容

已抛物线y=3x²+ax+ $数学公式$
（1）甲学生说：当a取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有完全相同的形状；乙学生说：a取不同的数值时，所对应的抛物线的形状也不同．你认为哪位学生说法正确，为什么？
（2）若取a=-2，a=3时所对应的抛物线的顶点分别为A、B．请你求出直线AB的解析式．并判断：当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点是否也在直线AB上？说明理由．

解：（1）根据y=3x²+ax+ $\text{[math]}$ ，二次项系数3决定抛物线的开口方向和大小，所以a取任何不同的数值时，对应的抛物线的形状完全相同．
（2）当a=-2时，抛物线为y=3x²-2x+ $\text{[math]}$ （12+2b），顶点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ b）；
当a=3时，抛物线为y=3x²+3x+ $\text{[math]}$ （27+2b），顶点坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ b）；
设直线AB的解析式为y=kx+n，则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
即直线AB的解析式为y= $\text{[math]}$ b．
当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点也在直线AB上．理由如下：
∵抛物线y=3x²+ax+ $\text{[math]}$ 的顶点坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ b），
∴无论a取何值，此抛物线的顶点纵坐标都是 $\text{[math]}$ b，
即顶点在直线y= $\text{[math]}$ b上．
故当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点也在直线AB上．
分析：（1）根据y=3x²+ax+ $\text{[math]}$ ，二次项系数3决定抛物线的开口方向和大小，即可判断对错．
（2）先求出点A及B的坐标，根据待定系数法求出直线AB的解析式再进行下一步的判断．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求函数的解析式及判定一个点在直线上的方法．由于本题运用待定系数法求出的函数y= $\text{[math]}$ b是常数函数，此知识点初中教材不要求掌握，因此本题属于竞赛题型，有一定难度．