Question

【题目】如图，直线l：y=x﹣ 与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点，抛物线y= x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C．
（1）填空：直接写出抛物线的解析式：；
（2）已知点Q是抛物线y= x2+bx+c在第四象限内的一个动点．
①如图，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时Q点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）y= x2﹣ x﹣
（2）

解：①作QM∥y轴交直线AC于M，如图①，

设Q（t， t2﹣ t﹣ ），则M（t，t﹣ ），

∴MQ=t﹣ ﹣（ t2﹣ t﹣ ）=﹣ t2+ t，

∴S=S△CMQ﹣S△AMQ= MQ1=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ，

当t=1时，S有最大值 ；

②连接OE、OF，作OH⊥EF于H，如图②，则EH=FH，

在Rt△OBC中，∵tan∠OBC= = ，

∴∠OBC=60°，

同理可得∠OAC=60°，AC=2OA=2，

∴△ABC为等边三角形，

∵∠EIF=2∠EBF，

∴∠EIF=120°，

∴∠IEH=30°，

在Rt△IEH中，∵cos∠IEH= ，

∴EH= IE，

∴EF=2EH= IE，

而IE= BD

∴EF= BD，

当BD的值最小时，EF的值最小，

而当BD⊥AC时，即BD为等边△ABC的高时，BD的值最小，

此时BD= AC= ，

∴线段EF的最小值为 ，

∵∠QBA=30°，

∴直线BQ与y轴的交点为（0，﹣ ），

易得直线BQ的解析式为y=﹣ x﹣ ，

解方程组 得 或 ，

∴此时Q点的坐标为（2，﹣ ）

【解析】解：（1）当y=0时，x﹣ =0，解得x= ，则A（ ，0），
当x=0时，y=x﹣ =﹣ ，则C（0，﹣ ），把B（﹣1，0），C（0，﹣ ）代入y= x2+bx+c得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣ ；
所以答案是y= x2﹣ x﹣ ；
【考点精析】认真审题，首先需要了解一次函数的图象和性质(一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远)，还要掌握二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)的相关知识才是答题的关键．