Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°，点E在AC上，∠AOE=60°且OE=1．
（1）求劣弧线AC的长．
（2）若∠ABD=120°，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

解：（1）∵∠A=30°，∠AOE=60°，
∴∠AEO=180°-∠A-∠AOE=90°，
即OE⊥AC，
∴AE=AC，
∵OE=1，
∴OA=2OE=2，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧线AC的长为：=π；

（2）连接BC，
∵∠BOC=∠A+∠ACO=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，BC=OB=2，
∵∠ABD=120°，
∴∠DBC=∠CBD=60°，
∵BC=OB=2，AB=2OA=4，BD=1，
∴，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
分析：（1）由∠A=30°，∠AOE=60°，即可得OE⊥AC，由垂径定理与勾股定理，即可求得半径OA的长，然后利用弧长公式求得劣弧线AC的长；
（2）首先连接BC，可得△OBC是等边三角形，继而可得∠ABC=∠CBD=60°，，即可判定△BCD∽△BAC，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠BCD的度数，继而可得OC⊥CD，则可证得CD是⊙O的切线．
点评：此题考查了圆的切线的判定、弧长公式、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．