Question

已知，△ABC为等边三角形，点P是射线CM上一点，连接AP，把△ACP绕点A按顺时针方向旋转60°，得△ABD，直线BD与射线CM交于点E，连接AE.
（1）如图，①求∠BEC的度数；

②若AE=2BE，猜想线段CE、BE的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图，若AE=mBE，求的值．

Answer 1

见试题解析．

试题分析：⑴ 为等边三角形，点是射线上一点，连接，把△ACP绕点A按顺时针方向旋转60°，得，旋转得到，所以≌，根据角的关系可得
⑵再由得到，已知所以即可得..
⑶有(2)证明可知,因为所以，即可得
试题解析：.(1)∵∵△ACP旋转得到△ABD
∴△ACP≌△ABD
∴∠ACP=∠ABD              1分
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ACP=∠ACB
∴∠BCP+∠ABD=∠ACB=60°
∵∠BCP+∠ABD+∠ABC+∠BEC=180°
∴∠BEC=60°              2分
(２) CE=3BE              3分
在EC上截取EF=EB,连结BF
∵∠BEC=60°, EF=EB
∴△BEF是等边三角形

∴∠EBF=60°,EF=EB=BF             4分
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°,AB=BC
∵∠EBF-∠ABF=∠EBA, ∠ABC-∠ABF=∠FBC
在△EAB和△FBC中,

∴△EAB≌△FBC(SAS)
∴CF=AE              6分
∵AE=2BE
∴CF=2BE              7分
∴CE=CF+EF=3BE
(3)有(2)证明可知CF=AE，             9分
∵AE=mBE
∴CF=mBE             10分
∴CE=CF+EF=(m+1)BE              11分
∴              12分