Question

【题目】如图，已知矩形AOBC中．OB=3个单位，BC=4个单位，动点P从点A出发，沿射线AO以每秒4个单位长度的速度运动．同时动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）用t表示线段PO的长度；

（2）当t为何值时，四边形APQC是矩形；

（3）设△APO与△AOB的重叠部分的面积为s平方单位，求s关于t的函数关系式；

（4）过点P作PE⊥AO交直线AB于点E，在动点P、Q运动的过程中，点H是平面内一点，当以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形时，请直接写出运动时间t的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜t≤1时，PO=4﹣4t，当t＞1时，PO=4t﹣4；（2）当t= 时，四边形APQC是矩形；（3）s＝4t;(4)

【解析】

(1)、分两种情况进行考虑：即当点P在线段AO上，点P在射线AO上；(2)、根据题意得出）AP=4t．CQ=4﹣2t，根据矩形的性质得出AP=CQ，从而得出答案；(3)、①、当0＜t≤1时，重叠部分是△ADP，，作DM⊥OA于M，交BC于N，根据三角形相似得出答案；当t＞1时，重叠部分是四边形ADKO，作DM⊥OA于M，交BC于N，PQ交OB于K，根据相似求出线段的长度，然后求出面积；(4)、分四种情况来进行计算，即当BE为菱形的对角线；当BE=BQ；当BQ是菱形的对角线；当BE=BQ时．分别画出四个图形，从而得出答案．

（1）当0＜t≤1时，PO=4﹣4t，当t＞1时，PO=4t﹣4；

（2）AP=4t．CQ=4﹣2t，当APQC是矩形时，有AP=CQ， 即4t=4﹣2t，∴t=

当t= 时，四边形APQC是矩形．

（3）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△ADP，作DM⊥OA于M，交BC于N．

∵BQ=2t，AP=4t，BQ∥AP，∴===， ∵AC=OB=3，∴DM=×3=2，

∴s=．

②如图2中，当t＞1时，重叠部分是四边形ADKO，作DM⊥OA于M，交BC于N，PQ交OB于K．

∵OP∥BQ，∴=，∴=，∴OK=，

∴，

（4）①如图3中，当BE为菱形的对角线时，

∵四边形EQBH是菱形，∴EK=BK=（5﹣5t），∵=cos∠ABC=，∴=，

∴t=．

②如图4 中，当BE=BQ时，

则有：5﹣5t=2t，t=．

③如图5中，当BQ是菱形的对角线时，

由cos∠ABC=，可得： =，解得t=．

④如图6中，当BE=BQ时，5t﹣5=2t，解得t=，

综上所述，满足条件时t的值为．