题目内容
△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°．（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CD=6，试求四边形CEDB的面积．
分析：（1）由已知得∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A，利用“ASA”证明△AEC≌△ADB即可；
（2）BE=CD且BE⊥CD．由旋转的性质可证△AEB≌△ADC，从而可得BE=CD，再利用角的相等关系，互余关系证明BE⊥CD；
（3）由于BE⊥CD，BE=CD=6，当四边形的对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线积的一半．
（2）BE=CD且BE⊥CD．由旋转的性质可证△AEB≌△ADC，从而可得BE=CD，再利用角的相等关系，互余关系证明BE⊥CD；
（3）由于BE⊥CD，BE=CD=6，当四边形的对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线积的一半．
解答：解：（1）AB=AC．
理由如下：
∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE
∴∠AEC=
∠AED，∠ADB=
∠ADE
∵∠AED=∠ADE
∴∠AEC=∠ADB
在△AEC和△ADB中，
∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A
∴△AEC≌△ADB
∴AB=AC；
（2）BE=CD且BE⊥CD．
理由如下：
∵∠EAD=∠BAC
∴∠EAB=∠DAC
在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴EB=CD
∴∠AEB=∠ADC
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°
∴∠DOE=90°
∴BE⊥CD；
（3）四边形CEDB的面积=
×BE×CD=
CD2=18．
理由如下：
∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE
∴∠AEC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵∠AED=∠ADE
∴∠AEC=∠ADB
在△AEC和△ADB中，
∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A
∴△AEC≌△ADB
∴AB=AC；
（2）BE=CD且BE⊥CD．
理由如下：
∵∠EAD=∠BAC
∴∠EAB=∠DAC
在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴EB=CD
∴∠AEB=∠ADC
∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°
∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°
∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°
∴∠DOE=90°
∴BE⊥CD；
（3）四边形CEDB的面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要学会运用角的相等关系，线段的相等关系将问题进行转化．
练习册系列答案
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图2的位置，AD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由．
