Question

【题目】已知函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4．

（1）求证：无论k为何值，函数图象与x轴总有交点？

（2）当k≠0时，（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点，

①求抛物线的表达式；

②求n；

（3）当k≠0时，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，是否存在实数k，使△ABC为等腰三角形？若存在，请求出实数k；若不存在，请说明理由？

Answer 1

【答案】（1）证明参见解析；

（2）①y=x2+x﹣4；②n1=，n2=3；

（3）存在，k值为，，，﹣．

【解析】

试题分析：（1）分类讨论：①当k=0时，函数为一次函数，与x轴必有一个交点；②当k≠0时，计算判别式得到△=（3k+）2≥0，由此得出无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；（2）①由（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点，由坐标特点可知，这两点关于抛物线的对称轴对称，根据二次函数的对称性得出，对称轴为直线x==﹣1，再根据对称轴公式得出=﹣1，解方程求出k的值，从而得出抛物线的表达式；②将（n﹣3，n﹣7）代入y=x2+x﹣4，即可求出n的值；（3）根据与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，由二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，得出三点中有两个定点A（3，0），C（0，﹣4），另一动点坐标为（﹣，0）．AC=5，当△ABC为等腰三角形时，分AB为底边、BC为底边、AC为底边三种情况求出另一动点坐标，进而求出k的值．

试题解析：（1）分类讨论：①当k=0时，函数为一次函数，即y=x﹣4，与x轴有一个交点，交于点（3，0）；②当k≠0时，函数为二次函数，∵△=（﹣3k）2﹣4k×（﹣4）=（3k+）2≥0，即△≥0，∴此函数与x轴有一个或两个交点；综上可知，无论k为何值，函数图象与x轴总有交点；（2）①当k≠0时，函数C1：y=kx2+（﹣3k）x﹣4为二次函数，∵（n﹣3，n﹣7）、（﹣n+1，n﹣7）是抛物线上的两个不同点，纵坐标相同，这两点关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x==﹣1，∴=﹣1，解得k=，∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣4；②∵（n﹣3，n﹣7）是抛物线y=x2+x﹣4上的点，将此点坐标带入：∴n﹣7=（n﹣3）2+（n﹣3）﹣4，解得n1=，n2=3；（3）∵y=kx2+（﹣3k）x﹣4，与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，∴当y=0时，kx2+（﹣3k）x﹣4=0，解得x1=3，x2=﹣，∴如果设A点坐标为（3，0），那么B点坐标为（﹣，0）．∵x=0时，y=﹣4，∴C点坐标为（0，﹣4）．AC=5，当△ABC为等腰三角形时，AC=BC时，B点坐标为（﹣3，0），AC=AB，B点在A点左侧时时B点坐标为（﹣2，0），当AB=CB时，利用勾股定理求出B点坐标是（﹣，0），当AC=AB，B点在A点右侧时B点坐标是（8，0），所以当﹣=﹣3时，解得k=；当﹣=﹣2时，解得k=；当﹣=﹣时，解得k=；当﹣=8时，解得k=﹣．综上所述，满足条件的实数k的值为，，，﹣．