Question

如图：直线AB：y=-

1

2

x+2分别与x轴、y轴交点与A、B，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点出发（包括点A），以每秒1个单位得速度沿x轴向左移动．
（1）求△COM的面积S与点M的移动时间t的函数关系式；
（2）当t何值时△COM≌△AOB，并求出此时点M的坐标；
（3）记直线AB与CM的交点为点E，问：满足△CBE是等腰三角形的t值共有几个？直接写出满足条件的t值．

Answer 1

分析：（1）由直线L的函数解析式，令y=0求A点坐标，x=0求B点坐标；分当0≤t≤4时，OM=OA-AM=4-t，当t＞4时，OM=AM-OA=t-4，由面积公式求出S与t之间的函数关系式；
（2）若△COM≌△AOB，OM=OB则t时间内移动了AM，可算出t值，并得到M点坐标；
（3）分①BE=BC=2；②CE=BE；③CB=CE；三种情况讨论可求满足△CBE是等腰三角形的t值．

解答：解：（1）对于直线AB：y=-

1

2

x+2，
当x=0时，y=2；
当y=0时，x=4．
则A、B两点的坐标分别为A（4，0）、B（0，2）；
∵C（0，4），
∴OC=OA=4，
∴当0≤t≤4时，OM=OA-AM=4-t，S=

1

2

×4×（4-t）=8-2t；
当t＞4时，OM=AM-OA=t-4，S=

1

2

×4×（t-4）=2t-8；

（2）分为两种情况：①当M在OA上时，OB=OM=2，△COM≌△AOB．
∴AM=OA-OM=4-2=2
∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟；
M（2，0），
②当M在AO的延长线上时，OM=OB=2，
则M（-2，0），
即M点的坐标是（2，0）或（-2，0）．

（3）∵A（4，0）、B（0，2），
∴AB=2

5

；
①BE=BC=2时，

如图1，BF：2=EF：4=2：2

5

，
解得BF=

2

5

5

，EF=

4

5

5

，
则

4

5

5

：OM=（2+

2

5

5

）：4，
解得OM=2

5

-2，
则t=4-（2

5

-2）=6-2

5

；
如图2，BF：2=EF：4=2：2

5

，
解得BF=

2

5

5

，EF=

4

5

5

，
则

4

5

5

：OM=（2-

2

5

5

）：4，
解得OM=2

5

+2，
则t=4+（2

5

+2）=6+2

5

；
②CE=BE时，

如图3，BF：2=EF：4=1：2，
解得BF=1，EF=2，
则2：OM=1：4，
解得OM=8，
则t=4+8=12；
③CB=CE时，

如图4，BN：2=2：2

5

，解得BN=

2

5

5

，
则BE=

4

5

5

，
BF：2=EF：4=

4

5

5

：2

5

，
解得BF=

4

5

，EF=

8

5

，
则

8

5

：OM=（2-

4

5

）：4，
解得OM=

16

3

，
则t=4+

16

3

=

28

3

．
综上所述，满足△CBE是等腰三角形的t值有：6-2

5

；6+2

5

；12；

28

3

．

点评：此题考查了同学们根据函数图象求坐标，通过动点变化求函数关系式，以及等腰三角形的性质，分类思想的运用．