Question

代数式

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

达到最小值时，x、y的值分别为

8

15

，

6

5

．

Answer 1

分析：将原式化为

(0-3x)2 +(3-1)2

+

(3x-2y)2+(1-0)2

+

(2y-4)2+ (0-2)2

，根据两点间的距离公式可知：

(0-3x)2 +(3-1)2

可以看成是坐标轴上A（0，3）与B（3x，1）两点的距离，

(3x-2y)2+(1-0)2

可看成是B（3x，1）与C（2y，0）的距离，

(2y-4)2+ (0-2)2

则为C（2y，0）与D（4，2）的距离，继而利用轴对称-最短路线问题求解即可．

解答：解：原式=

(0-3x)2 +(3-1)2

+

(3x-2y)2+(1-0)2

+

(2y-4)2+ (0-2)2

，
根据两点间的距离公式可知：

(0-3x)2 +(3-1)2

可以看成是坐标轴上A（0，3）与B（3x，1）两点的距离，

(3x-2y)2+(1-0)2

可看成是B（3x，1）与C（2y，0）的距离，

(2y-4)2+ (0-2)2

则为C（2y，0）与D（4，2）的距离，
在坐标轴上找出A、B、C和D四点的位置如下所示，点B在直线y=1上，点C在x轴上，

作点D（4，2）关于x轴对称到点E（4，-2），后连接DE两点，其与直线y=1的交点即是代数式达到最小值时的B点，与x轴的交点即是代数式达到最小值时的C点，
可以算出此时B点的坐标为：（

8

5

，0），解得x=

8

15

；
此时C点的坐标为：（

12

5

，0），解得y=

6

5

．
故答案为：

8

15

，

6

5

．

点评：本题考查了利用轴对称-最短路径的知识求解无理函数的最值，找出A、B、C和D四点的位置是解答此题的关键，有一定的技巧性．