Question

【题目】两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）当点C落在边EF上时，x=　cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1所示：作CG⊥AB于G点．

，

在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得

BC==6．

在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=9．

四边形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，

故答案为：15；

（2）

解：①当0≤x＜6时，如图2所示．

，

∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得

DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DGBG=×x×x=x2

②当6≤x＜12时，如图3所示．

，

BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．

重叠部分的面积为y=S△BDG﹣S△BEH=DGBG﹣BEEH，

即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）

化简，得y=﹣x2+2x﹣6；

③当12＜x≤15时，如图4所示．

，

AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），

重叠部分的面积为y=S△ABC﹣S△BEG=ACBC﹣BEEG，

即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），

化简，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；

综上所述：y=；

（3）

解：如图5所示作NG⊥DE于G点．

，

点M在NG上时MN最短，

NG是△DEF的中位线，

NG=EF=．

MB=CB=3，∠B=30°，

MG=MB=，

MN最小=3﹣=．

【解析】（1）根据锐角三角函数，可得BG的长，根据线段的和差，可GE的长，根据矩形的性质，可得答案；
（2）分类讨论：①当0≤t＜6时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当6≤t＜12时，③当12＜t≤15时，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案．
此题考查了图形的移动变换，涉及知识点有矩形的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，中垂线性质，中位线性质等.