Question

如图所示，在△ABC中，已知D是BC边上的点，O为△ABD的外接圆圆心，△ACD的外接圆与△AOB的外接圆相交于A，E两点．求证：OE⊥EC．

Answer 1

证明：如图，在上取点F，连接AF，BF，AO，BO，AD，AE，BE，则
∵A，D，B，F共圆，A，D，E，C共圆
∴∠AEC=∠ADC=∠F=∠AOB
∵AO=BO
∴
∴∠AEO=∠BEO=∠AEB
∴∠CEO=∠AEC+∠AEO=（∠AOB+∠AEB）=90°
∴OE⊥EC．
分析：要证OE⊥EC，就要得出∠OEC=90°，连接AE，BE，OA，OB，根据OA=OB，不难得出∠AEO=∠BEO=∠AEB，由于四边形AOBE是圆的内接四边形，因此∠AOB+∠AEB=180°，那么只需证∠AEC=∠AOB即可．连接AD，根据圆周角定理∠ADC=∠AEC，在优弧AB上，求一点F，连接AF，BF，那么四边形ADBF就是圆O的内接四边形，∠ADC=∠F，而∠F=∠AOB=∠AEC，由此可得证．
点评：本题主要考查了圆周角定理和圆的内接四边形等知识点，通过辅助线来构建圆的内接四边形和与所求相关的圆周角是解题的关键．