Question

如图，⊙O中半径OA=2，∠AOB=60°，P为

AB

上的点，PM⊥OA于M，

PN⊥OB于N．
（1）若P是

AB

的中点，求MN的长；
（2）若点P不是

AB

的中点，则MN的长度是否发生变化？请说明理由；
（3）若∠AOB=45°，求MN的长．（不用证明）

Answer 1

（1）连接OP，
∵P为

AB

中点
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP=

OM

OP

=

3

2

，
∴OM=

3

同理ON=

3

∴OM=ON，
∵∠AOB=60°，
∴△OMN为等边三角形
∴MN=

3

；

（2）长度不变．
设Pn为

AB

中点，垂足为Mn，Nn分别延长PM，PN，PnMn，PnNn交⊙O于E，F，
En，Fn由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN，MnNn分别为△PEF，△PnEnFn的中位线
∴MN=

1

2

EF，MnNn=

1

2

EnFn
∴MN=MnNn

（3）由（1），（2）可知P点取

AB

上任一点时MN长度不变，包括P点与A，B重合时，
故当∠AOB=45°时，
让点P与点A重合，
PN=

2

2

?2=

2

当∠AOB=45°时，
MN=

2

．