Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，cos∠ABC=

3

5

，点D在AB边上（点D与点A，B不重合），DE∥BC交AC边于点E，点F在线段EC上，且EF=

1

4

AE，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，连接BG．设AE=x，△DBG的面积为y，则y与x的函数关系式为

y=-

3

25

x2+

6

5

x

．

Answer 1

分析：设AH交DE、GF于点M、N，由DE∥BC，可知△ADE∽△ABC，故可得

AE

AC

=

AM

AH

=

DE

BC

，再根据AE=x，可知AM=

4

5

x，DE=

5

6

x，NH=8-x，根据S_△DBG=S_梯形DBCE-S_{平行四边形DGFE}-S_梯形GBCF，即可得出结论．

解答：解：设AH交DE、GF于点M、N．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

AM

AH

=

DE

BC

，
∵AM=

4

5

x，
∴AM=

4

5

x，DE=

5

6

x，
∵MN=

1

4

AM=

1

5

x，
∴NH=8-x，
∴S_△DBG=S_梯形DBCE-S_{平行四边形DGFE}-S_梯形GBCF，
∴y=

1

2

（

6

5

x+12）（8-

4

5

x）-

6

5

x•

1

5

x-

1

2

（

6

5

x+12）（8-x），
∴y=-

3

25

x2+

6

5

x．
故答案为：y=-

3

25

x2+

6

5

x．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、梯形的面积公式、三角形的面积公式，根据题意判断出△ADE∽△ABC是解答此题的关键．