Question

26、如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABC≌△ADC的理由；
（2）证明：OB=OD；
（3）若点P在直线AC上，试问PB与PD一定相等吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）由∠1=∠2，∠3=∠4，AC为公共边，ASA判定定理得△ABC≌△ADC．
（2）因为OB、OD分别在△AOB和△AOD中，则可证这两个三角形全等，∠1=∠2，AO为公共边，又由（1）得AB=AD，所以SAS判定△AOB和△AOD全等．
（3）因为BC=CD，∠3=∠4，CP为公共边，所以由SAS可判定△BCP≌△DCP，故PB与PD一定相等．

解答：解：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，
∠l=∠2，
AC=AC，
∠3=∠4，
∴△ABC≌△ADC（ASA）；

（2）证明：∵在△ABC和△ADC，
∴AB=AD
∴在△ABO和△ADO中
AB=AD，
∠1=∠2，
AO=AO，
∴△ABO≌△ADO（SAS）
∴OB=OD；

（3）PB=PD，理由如下：
在AC上取一点P，连接PB，PD
∵△ABO≌△ADO，OB=OD
∴∠AOB=∠AOD=90°即AO⊥BD
∴AC是线段BD的垂直平分线，
而点P在AC上，
∴PB=PD．

点评：本题考查的是三角形全等的判定及其应用，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．