Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（1，

3

2

），其顶点E的横坐标为2，此抛物线与x轴分别交于B（x₁，0），C（x₂，0）两点，且x₂-x₁=4．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）连接EB、EC，判断△BEC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了顶点E的横坐标为2，即抛物线的对称轴为x=2，联立B、C的横坐标差，即可求得B、C的坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程求出该抛物线的解析式，进而可将x=2代入上式求得顶点E的坐标；
（2）根据B、E、C三点坐标，可求得△BEC三边的长，然后根据它们之间的关系来判断△BEC的形状．

解答：解：（1）∵抛物线顶点横坐标为2，x₂-x₁=4，
∴x₁=0，x₂=4，
∴B（0，0），C（4，0），
由于抛物线经过A、B、C三点，则有：

a+b+c= 3 2 c=0 16a+4b+c=0

，
解得：

a=- 1 2 b=2 c=0

，
∴抛物线：y=-

1

2

x2+2x，
∵当x=2时，y=2，
∴E（2，2）；

（2）在△EBC中，x=2垂直平分BC，
EB=EC=

22+22

=2

2

，BC=4，
而EB²+EC²=16=BC²，
∴△EBC是等腰直角三角形．

点评：此题考查的是二次函数解析式的确定以及等腰直角三角形的判定，属基础题，较容易．