Question

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．
（1）求过点A、B两点的直线解析式；
（2）在运动的过程中，当△ABC周长最小时，求点C的坐标；
（3）在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点C的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得B′点，根据线段的性质，可得AB′，根据待定系数法求函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（3）根据等腰三角形的判定，可得AC=BC，根据解方程，可得C点的坐标．

解答：解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，图象经过点（2，4）和（3，0），得

2k+b=4① 3k+b=0②

，解得

k=-4 b=12

，
AB两点的直线解析式y=-4x+12；
（2）如图1：
，
作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于C点，
B′点的坐标是（-3，0），
设AB′的函数解析式为y=kx+b，图象经过（-3，0），（2，4），得

-3k+b=0 2k+b=4

，
解得

k= 4 5 b= 12 5

．
AB′的函数解析式为y=

4

5

x+

12

5

，
自变量的值为零时，y=

12

5

当△ABC周长最小时，C点坐标为（0，

12

5

）；
（3）图2：
，
设C点坐标为（0，a），当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC=AC，平方，得
BC²=AC²，2²+（4-a）²=3²+a²，
化简，得8a=11，
解得a=

11

8

，
故点C的坐标为(0，

11

8

)．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短；（3）利用了等腰三角形的判定．