Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于点E．DP⊥CB于点P，连接AP、AE．
（1）如图1，若∠C=45°，求证：AP=

2

AE．
（2）如图2，若∠C=60°，直接写出线段AP、AE的数量关系

AP=

2 3

3

AE

．
（3）在（1）的条件下，将线段EA绕点E顺时针旋转得到线段EA′，使∠DEA′=∠DEA，直线EA′分别与线段BA延长线、线段BC交于点N、点K，已知AD=1，EK=

5

．求线段NE的长．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接PE，由条件可以得出△PDC，△DEF是等腰直角三角形，可以证明△ADE≌△PFE，从而证明△AEP为等腰直角三角形，就可以得出结论．
（2）如图2，连接PE，由∠C=60°，由条件可以得出∠5=∠8=30°，∠1=∠3=60°，可以证明△ADE∽△PFE，得出∠6=∠7，

AE

PE

=

AD

PF

=

BP

PF

=cot30°=

3

，从而可以求出∠PAE=30°就可以求出cos30°=

3

2

=

AE

AP

，从而求出其值．
（3）如图3，过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．构建相似三角形：△NGE∽△NBK．利用（1）的结论，结合勾股定理、等腰直角三角形的性质求得GE=2，BK=3．由相似三角形的对应边成比例知

GE

BK

=

NE

NK

，从而求得NE的值．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC．
∵DP⊥CB，
∴AB∥DP，
∴四边形ABPD是矩形，
∴AD=BP．
∵BE⊥CD，∠C=45°，
∴在Rt△BEC中，∠EBC=∠C=45°．
则在Rt△BFP中，∠FBP=∠BFP=45°，
∴BP=FP，
∴AD=PF．
在Rt△DEF中，∠EDF=∠EFD=45°，则DE=EF．
∴∠ADE=∠ADP+∠FDE=135°，∠PFE=180°-∠BFP=180°-45°=135°，
∴∠ADE=∠PFE．
在△ADE与△PFE中，

AD=PF ∠ADE=∠PFE DE=FE

，
∴△ADE≌△PFE（SAS），
∴AE=PE，∠DEA=∠FEP，
∴∠DEA+∠AEF=∠FEP+∠AEF=∠AEP=90°，即△AEP是等腰直角三角形，
∴在Rt△AEP中，由勾股定理，得
AE²+PE²=AP²
即AP=

2

AE；

（2）如图2，连接PE．∵∠C=60°，DP⊥BC，BE⊥DC，
∴∠8=∠5=30°，∠1=∠3=60°（对顶角相等），
∴△ADE∽△PFE，
∴∠6=∠7（相似三角形的对应角相等），

AE

PE

=

AD

PF

=

BP

PF

=cot30°=

3

，
∴∠PAE=30°，
∴cos30°=

3

2

=

AE

AP

，解得AP=

2 3

3

AE．

（3）如图3，过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥BC于点H．
∴GE∥BC，EH∥GB，
∴四边形GBHE是矩形．
∴GE=BH．
由（1）知，∠DEA=∠FEP．
∵∠DEA=∠DEN，∠DEN=∠KEC（对顶角相等），
∴∠FEP=∠KEC（等量代换），
∴∠EPK=45°+∠BEP，∠EKP=45°+∠KEC，
∴∠EPK=∠EKP，
∴PE=EK．
∵AE=PE，AP=

2

AE，EK=

5

，
∴AP=

2

EK=

10

，BP=1，
∴AB=

AP2-BP2

=

AP2-AD2

=3，则AB=DP=PC=3．
∴BC=BP+PC=1+3=4，
∴BH=

1

2

BC=2，
∴BK=3．
易证△NGE∽△NBK，
∴

GE

BK

=

NE

NK

，即

2

3

=

NE

NE+ 5

，
解得，NE=2

5

．

点评：本题考查了直角梯形、等腰直角三角形以及解直角三角形的应用．经常通过作辅助线灵活地解决与梯形有关的问题．