Question

【题目】如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．

（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；

①；②；③；④；⑤；⑥；

（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．

Answer 1

【答案】（1）④⑤；（2）；（3）或.

【解析】

（1）作于M，交于N，如图，利用三角函数的定义得到，设，则，利用勾股定理得，解得，即，，设正方形的边长为x，则，，由于，则可判断为定值；再利用得到，则可判断为定值；在中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，在变化，在变化；

（2）易得四边形为矩形，则，证明，利用相似比可得到y与x的关系式；

（3）由于，与相似，且面积不相等，利用相似比得到，讨论：当点P在点F点右侧时，则，所以，当点P在点F点左侧时，则，所以，然后分别解方程即可得到正方形的边长．

（1）如图，作于M，交于N，

在中，∵，

设，则，

∵，

∴，解得，

∴，，

设正方形的边长为x，

在中，∵，

∴，

∴，

在中，，

∴为定值；

∵，

∴，

∴为定值；

在中，，

而在变化，

∴在变化，在变化，

∴在变化，

所以和是始终保持不变的量；

故答案为：④⑤

（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，

∴四边形为矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∴

（3）∵，与相似，且面积不相等，

∴，即，

∴，

当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF==，

∴，

解得，

当点P在点F点左侧时，，

∴，

解得，

综上所述，正方形的边长为或．