Question

如图：在菱形ABCD中，∠A=60°，M、N分别是BC和CD的中点，O是BD上的一个动点，已知BD=5.2cm，求OM+ON的最小值．

Answer 1

分析：取AD的中点N′，连接MN′交BD于O，连接NN′，根据菱形的性质得出N′和N关于BD对称，求出MN=OM+ON，得出平行四边形BMN′A，得出AB=MN′，即可求出答案．

解答：解：取AD的中点N′，连接MN′交BD于O，连接NN′，
∵菱形ABCD关于直线BD是轴对称图形
∴N、N′关于直线BD是对称，
∴ON=ON′，
∴OM+ON=OM+ON′=MN′
∵在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=5.2cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵N′为AD中点，M为AB中点，
∴BM∥AN′且BM=AN′，
∴四边形MBAN′是平行四边形，
∴MN′=AB=5.2cm，
∴OM+ON≥5.2cm，
即OM+ON的最小值是5.2cm．

点评：本题考查了菱形性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解此题的关键是找出符合条件的O点，题目比较好，但是有一定的难度．