Question

如图所示，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且 AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：MN=AM+BN；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出线段AM、BN与MN之间的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用互余关系证明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可证△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，利用线段的和差关系证明结论；
（2）类似于（1）的方法，证明△AMC≌△CNB，从而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN与MN之间的数量关系．

解答：证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中
∵

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；
（2）结论：MN=NB-AM，理由为：
证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中
∵

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=CB

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等量代换的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．