Question

【题目】如图，已知平面直角坐标系，抛物线与轴交于点A(-2，0)和点B(4，0) ．

（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；

（2）点C在线段OB上，过点C作CD⊥轴，垂足为点C，交抛物线与点D，E是BD中点，联结CE并延长，与轴交于点F．

①当D恰好是抛物线的顶点时，求点F的坐标；

②联结BF，当△DBC的面积是△BCF面积的时，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】(1) ,x=1;(2)①F的坐标是（0，）；②C坐标是.

【解析】

（1）用待定系数法求解；

（2）①求出顶点坐标，得出DC、OC、BC长度，在Rt△DCB和Rt△OFC中，利用三角函数求出OF值即可；

②通过面积比找到DC与OF比值，证明△DCB∽△FOC，借助比例式求解OB，从而得到OC长．

（1）由题意得，抛物线经过点A(－2，0)和点B(4，0)，

代入得 解得

因此，这条抛物线的表达式是.

它的对称轴是直线.

（2）①由抛物线的表达式，得顶点D的坐标是（1，）.

∴.

∵D是抛物线顶点，CD⊥轴，E是BD中点，∴. ∴.

∵，∴.

在Rt△中，，．

在Rt△中，，．

∴，．∴点F的坐标是（0，）．

②∵，， ∴．

∵△DBC的面积是△BCF面积的， ∴．

由①得，又，

∴△∽△．∴．

又OB=4，∴，∴．即点C坐标是.