Question

已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线
（1）如图1，连结BD，若∠CDB=60°，求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC=7，AB=5，求线段AE的长度．

Answer 1

（1）证明：∵，
∴CD=BD，
∵∠CDB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴=，
∴∠CAD=∠BAC，即AC是∠DAB的平分线；

（2）解：连接BD，在线段CE上取点F，使得EF=AE，连接DF，
∵DE⊥AC，
∴DF=DA，
∴∠DFE=∠DAE，
∵=，
∴CD=BD，∠DAC=∠DCB，
∴∠DFE=∠DCB，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠DFC+∠DFE=180°，
∴∠DFC=∠DAB，
∵在△CDF和△BDA中，

∴△CDF≌△BDA（AAS），
∴CF=AB=5，
∵AC=7，AB=5，
∴AE=AF=（AC-CF）=1．
分析：（1）先根据可知CD=BD，再由∠CDB=60°可得出△BCD是等边三角形，故=，由圆周角定理即可得出结论；
（2）首先连接BD，在线段CE上取点F，使得EF=AE，连接DF，易证得△CDF≌△BDA，继而可求得线段AE的长度．
点评：此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．