Question

【题目】若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；

(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(，)与原点O的距离OP的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；②≤OP＜且OP≠1．

【解析】

（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；

（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；

（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣，x2x3＝，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得的取值范围，令m＝，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．

（1）不能，理由如下：

∵1、2、3的倒数分别为1、、，

∴+≠1，1+≠，1+≠，

∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；

（2）∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数(k为常数，k≠0)的图象上，

∴y1、y2、y3均不为0，且y1＝，y2＝，y3＝，

∴＝，＝，＝，

∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，

∴有以下三种情况：

当＝+时，则＝+，即t＝t+1+t+3，解得t＝﹣4；

当＝+时，则＝+，即t+1＝t+t+3，解得t＝﹣2；

当＝+时，则＝+，即t+3＝t+t+1，解得t＝2；

∴t的值为﹣4、﹣2或2；

（3）①∵a、b、c均不为0，

∴x1，x2，x3都不为0，

∵直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，

∴0＝2bx1+2c，解得x1＝﹣，

联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c＝ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c＝0，

∵直线与抛物线交与B(x2，y2)，C(x3，y3)两点，

∴x2、x3是方程ax2+bx+c＝0的两根，

∴x2+x3＝﹣，x2x3＝，

∴+＝＝＝﹣＝，

∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；

②∵x2＝1，

∴a+b+c＝0，

∴c＝﹣a﹣b，

∵a＞2b＞3c，

∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，

∵P(，)，

∴OP2＝()2+()2＝()2+()2＝2()2+2+1＝2(+)2+，

令m＝，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+，

∵2＞0，

∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m＝﹣时，OP2有最大临界值，当m＝﹣时，OP2有最小临界值，

当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣时，OP2有最小临界值，当m＝时，OP2有最大临界值，

∴≤OP2<且OP2≠1，

∵P到原点的距离为非负数，

∴≤OP＜且OP≠1．