Question

如图在△ABC和△DEF中，AB=AC=DE=DF=5，BC=EF=6，移动△DEF，在整个移动过程中，点E始终在BC边上（点E不经过B、C两点），且DE经过点A，设EF与AC的交点为M．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）证明：∠CEM=∠BAE；
（3）若重叠部分△AEM为等腰三角形，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据SSS定理可直接证明△ABC≌△DEF；
（2）首先根据△ABC≌△DEF可得∠B=∠DEF，再根据三角形内角与外角的关系可得结论∠CEM=∠BAE．
（3）首先得出AE≠AM，再利用当AM=EM时，以及当AM=EM时分别求出BE的长即可．

解答：证明：（1）
∵在△ABC和△DEF中，

AB=DE AC=DF BC=EF

，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；

（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∵∠B+∠BAE=∠AEC=∠DEF+∠MEC，
∴∠CEM=∠BAE；

（3）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM，
当AM=EM时，
在△ABE和△ECM中，
∵

∠C=∠B ∠CEM=∠BAE AE=EM

，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=1，
当AM=EM时，∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

BC

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出BE的长是解题关键易错点．